یک
بخش اول
فيزيک و اندازه گيری
در اين فصل، به تشريح موضوع علم فيزيک مي پردازيم. پس با زمينه هايي که فيزيک در آنها کاربرد دارد و شاخه هاي مختلف علم فيزيک آشنا مي شويم. سرانجام به اهميت اندازه گيري در فيزيک و کميتهاي اصلي و فرعي و کميتهاي نرده اي و بُرداري و عمليات جبري آنها مي پردازيم.
تاريخچه پيدايش و گسترش فيزيک
علم مطالعه حرکت، نيرو، انرژي و اثرات آنها بر ماده را علم فيزيک گويند. واژه فيزيک از واژه باستاني يوناني physis به معناي طبيعت و ماهيت گرفته شده است. فيلسوفان آسياي صغير، نخستين کساني بودند که پرسشهايي درباره طبيعت و ماهيت بنيادي (physis) دنياي مادي مطرح ساختند (در سده هفتم قبل از ميلاد مسيح).
ارشميدس بر روي مبحث ايستاشناسي (استاتيک) و هيدوراستاتيک کار کرد که به روشهاي امروزي بسيار نزديک بود. پس از ظهور و گسترش اسلام، دانشمندان کشورهاي اسلامي از قبيل ابوريحان بيروني، ابن هيثم، خواجه نصيرالدين طوسي و بسياري ديگر، علم فيزيک را در زمينه هاي نجوم و اپتيک گسترش دادند.
گاليله دستگاههاي ساده را با توجه به اصول «اندازه گيري تجربي» و «تجزيه رياضي» توصيف کرد. گاليه نشان داد که قانونهاي طبيعت از معادله هاي رياضي ساده اي پيروي مي کنند. از آن زمان تاکنون فيزيکدانان در جستجوي روابط رياضي اي هستند که نتايج اندازه گيريها را به هم مربوط مي کنند. مفاهيم اساسي در فيزيک بر حسب اندازه گيريها بيان مي شوند و هدف هر نظريه فيزيکي بيان ارتباط نتيجه چند اندازه گيري به همديگر است.
ارکان علم فيزيک
روش فيزيک روش گاليله است که بعداً توسط نيوتون تکميل شد. يعني موضوع مورد نظر توسط تجربه (انجام آزمايش) و تجريه و تحليل رياضي بررسي مي شود. براي انجام آزمايش در فيزيک ،معمولاً ابتدا يک رشته اندازه گيري انجام مي شود. مجموعه فعاليتهاي تجربي را مشاهده مي گويند. نتيجه مشاهده ها و اندازه گيريها، شالوده کار دو مرحله تجزيه و تحليل رياضي را فراهم مي سازد.
فيزيکداناني که بيشتر در زمينه طرح ريزي و انجام آزمايشها و جمع آوري اطلاعات از طريق اندازه گيري پژوهش مي کنند فيزيکدانان تجربي هستند. مجموعه اي از مدلها و رابطه هايي که از طريق تجربه ها به دست مي آيند، يک نظريه (تئوري) را مي سازند. فيزيکداناني که با تجريه و تحليل داده هاي تجربي (مشاهده ها) نظريه مي سازند. فيزيکدانان نظري يا نظريه پرداز هستند.
کاربردهاي فيزيک
مطالعه هر بخش از جهان پيرامون ما بدون دانش فيزيک ميسر نيست. شما با فراگيري فيزيک مي آموزيد که چگونه: مشاهده کنيد، بررسي کنيد، آزمايش کنيد و نتايج آزمايشها را به صورت مناسب ثبت کنيد. براي آموختن فيزيک بايد با کسب مهارت رياضي لازم بتوانيد نتايج و مفاهيم را با جملات دقيق بيان کنيد.
شاخه هاي مختلف فيزيک شامل فيزيک ماده چگال، اختر فيزيک، فيزيک هسته اي، فيزيک اتمي و مولکولي و ليزر، فيزيک ذره هاي بنيادي، فيزيک بنيادي و ... مي باشد. فيزيک در زمينه هاي زيادي از قبيل پزشکي، رايانه اي، هواشناسي، مواد، مخابرات، صنعت و ... کاربرد دارد.
اندازه گيري
اهميت اندازه گيري در فيزيک آنقدر زياد است که مي توان گفت «فيزيک علم اندازه گيري است.» دانشمندان براي آن که رقمهاي حاصل از اندازه گيريهاي مختلف يک کميت با هم مقايسه پذير باشند در نشستهاي بين المللي توافق کرده اند که براي هر کميت مکاني معين تعريف کنند.
يکاي (واحد) هر کميت بايد به گونه اي باشد که در شرايط فيزيکي تعيين شده تغيير نکند و در دسترس باشد. مجموعه يکاهاي مورد توافق بين المللي را به اختصار يکاهاي SI مي نامند.
يکاهاي اصلي و فرعي
بعضي کميتهاي اصلي فيزيک عبارتند از طول، جرم و زمان و يکاهاي اصلي، يکاهاي اين کميتهاي اصلي اند.
|
يکاهاي اصلي |
کميتهاي اصلي |
|
(M) متر |
طول |
|
(Kg) کيلوگرم |
جرم |
|
(s) ثانيه |
زمان |
کميتهاي فرعي مثل مساحت، حجم، سرعت و ... با استفاده يا رابطه هايي با کميتهاي اصلي به دست مي آيند. يکاي کميتهاي فرعي هم با استفاده از اين روابط تعريف مي شود. مثلاً مسافت که از حاصل ضرب دو طول به دست مي آيد m2 = m×m (متر مربع) مي باشد.
يکاي مناسب براي کميتهاي خيلي بزرگ يا خيلي کوچک
يکاهاي کوچکتر و يا بزرگتر را توسط پيشوندي که به يکاي مربوط اضافه مي شود.
| نامگذاري مي کنند. مثلاًً از پيشوند «سانتي» براي |
|
استفاده مي شود. يعني اگر يک متر |
را به صد قسمت مساوي تقسيم کنيم هر قسمت يک سانتيمتر است. جدول زير مربوط به اين پيشوندها است.
|
پيشوند
|
مضرب
|
نماد
|
پيشوند
|
مضرب
|
نماد
|
|
دسي
|
1/10 = 10-1 |
d
|
دکا
|
10 |
da
|
|
سانتي
|
1/100 = 10-2 |
c
|
هکتو
|
100 |
h |
|
ميلي
|
1/1000 = 10-3 |
m
|
کيلو
|
1000
|
k |
|
ميکرو
|
1/106 = 10-6 |
m
|
مگا
|
106
|
M |
|
نانو
|
1/109=10-9 |
n
|
گيگا
|
109
|
G |
|
پيکو
|
1/1012 =10-12 |
p
|
ترا
|
1012
|
T |
نماد گذاري علمي
در نماد گذاري علمي هر مقدار را به صورت حاصل ضرب عددي بين ۱ و ۱۰ و توان صحيحي از ۱۰ مي نويسند. مثال:
106 × 63/5= 5630000
%820 = 8/2 * 10-2
وسايل اندازه گيري
وسايل اندازه گيري با توجه به کميت مورد اندازه گيري انتخاب و طراحي مي شوند. مثلاً براي اندازه گيري طول و عرض يک اتاق از متر نواري و براي اندازه گيري طول و عرض يک کتاب از يک خط کش استفاده مي شود. براي اندازه گيري جرم جسم از ترازو، براي اندازه گيري زمان از ساعت و براي اندازه گيري حجم مايعها از پيمانه ها يا ظرفهاي مدرج استفاده مي شود.
دقت اندازه گيري
کمترين مقداري را که يک وسيله مي تواند اندازه بگيرد دقت اندازه گيري با آن وسيله مي نامند. به عنوان مثال دقت اندازه گيري يک خط کش معمولي در حد ميلي متر است و براي اندازه گيري طول کمتر از ميلي متر بايد از وسيله اي که دقت آن بيشتر باشد مثل کولين يا ريز سنج استفاده کرد.
کميتهاي فيزيکي
کميتهاي فيزيکي دو دسته اند: نرده اي و برداري
کميتهاي نرده اي: اين کميتها با معلوم شدن مقدارشان معرفي و مشخص مي شوند مثل حجم سطح، جرم، زمان، طول، انرژي، چگالي و ... اين کميتها از قاعده هاي متداول در حساب پيروي مي کنند.
کميتهاي برداري: اين کميتها علاوه بر بزرگي (مقدار)، جهت (راستا و سو) دارند و از قاعده جمع برداري پيروي مي کنند.
بردارهايي که اندازه جهت آنها يکسان است و راستاهاي موازي دارند و بردارهاي هم سنگ يا مساوي گويند.
جابه جايي:
جابه جايي يک جسم، پاره خط جهت داري است که ابتداي آن مکان آغازي و انتهاي آن مکان پاياني جسم و طول آن مقدار تغيير مکان است. دو جابه جايي را وقتي برابر مي گويند که به يک اندازه و در يک جهت (هم راستا و هم سو) باشند.
جمع بردارهاي جابه جايي
حاصل جمع دو يا چند برادر را برآيند آن بردارها (يا بردار برآيند) مي نامند. براي يافتن برآيند دو بردارa و bمي توانيم از يک نقطه دو بردار برابرa و bرسم کنيم. بردار برآيند قطر متوازي الاضلاعي است که نقطه شروع دو بردار را به رأس مقابل وصل مي کند. (قاعده متوازي الاضلاع براي جمع بردارها)
نکته: بردار برآيند از رابطه ي زير نيز به دست مي آيد.
R = √(a2 + b2 + 2abcos)
جمع برداري خاصيت جابه جايي دارد يعني به ترتيب بردارها بستگي ندارد. يک روش ديگر براي جمع دو يا چند بردار اين است که از انتهاي بردار اول برداري مساوي بردار دوم و از انتهاي بردار دوم برداري مساوي بردار سوم و همين طور تا آخر رسم کنيم. بردار برآيند برداري است که ابتداي آن ابتداي بردار اول و انتهاي آن انتهاي بردار آخر باشد.
مثال: بردار برآيند بردارهاي a و bو c را به دست آوريد.
پاسخ: بردارهاي مساويa و bو c را پشت هم رسم مي کنيم و ابتداي بردار اول را به انتهاي بردار آخر وصل مي کنيم.
نکته: اگر دو بردار a و b بر هم عمود باشند. بزرگي بردار برآيند (R) از رابطه زير به دست مي آيد:
R = √(a2 + b2)
حاصل ضرب يک عدد در يک بردار
هر گاه عدد m را در يک بردار ضرب کنيم، بزرگي بردار حاصل m برابر بردار اول است.
جهت بردار حاصل ضرب با بردار اوليه يکي است ® 0 >m
بردار حاصل ضرب در خلاف جهت بردار اوليه است ® 0<
m
(يعني وقتي برداري را در يک عدد مثبت ضرب مي کنيم فقط بزرگي آن تغيير مي کند؛ ولي وقتي در يک عدد منفي ضرب مي کنيم جهت آن نيز تغيير مي کند.)
تفريق دو بردار
حاصل تفريق دو بردار نيز يک بردار است. براي تفريق دو بردار ابتدا از يک نقطه به عنوان مبدأ، دو بردار a و bرا رسم مي کنيم. بردار c حاصل تفريق بردارهاي a و bاست و راستاي c انتها بردارهاي a و bرا به هم وصل مي کند.
|
|
C= a - b
|
|
|
C = b - a |
3
سؤالات حل شده :
1– اندازه دو نيري عمود بر هم F2=5N و F1= 12Nرا پيدا کنيد.
R2 = (F1)2 + (F2)2 = 122 + 52 Þ R2 = 169 Þ R = √169 = 13N
2 – برآيند نيروهاي زير را محاسبه کنيد و رسم کنيد.
پاسخ: دو نيروي ۴۰ نيوتني به هم عمود هستند و برآيند اين دو نيرو با نيروي 250 نيوتن در يک راستا و مختلف الجهت است. پس ابتدا برآيند دو نيروي ۴۰ نيوتني را به دست مي آوريم.
|
R12 = F12 + F12
R12 = 2F12
√R12 = √2F12
R1 = 40√2 |
® |
R12 = F12 + F22
F1 = F2 |
حال برآيند F3 و R1 را به دست مي آوريم.
R =50√2 - 40√2 = 10√2N
3– برآيند دو نيروي F1 و F2 که با هم زاويه ۱۲۰ مي سازند مساوي ۱۰ نيوتن است. اگر F1=F2 باشد مقدار هر يک از دو نيرو را تعيين کنيد.
|
R = 10N
α =120 ° , COS120 = -1/2 |
{ |
|
R2 = F12 + F22 + 2F1F2COS
F1 = F2 ® R2 = 2F12 + 2F12COS
α
α |
{ |
R2 = 2F12 ( 1+ COS120) = 2F12(1-1/2)
R2 = 2F12(1/2) Þ R=F1=10N
4– اگر بر ذره اي به جرم m که در نقطه o قرار دارد، مطابق شکل سه نيرو وارد شود به کدام جهت حرکت خواهد کرد؟
پاسخ: نيروي f1 را به مؤلفه هايش در راستاي xها و yها تجريه مي کنيم. حال برآيند اين نيروها را محاسبه کنيد.
۲N = ۶۰+۱۲ 20COS - = R در راستاي X ها
3N- = 20 - ۶۰ SIN 20 = R در راستاي Y ها
به طرف جنوب شرقي حرکت خواهد کرد.
2
نکات مهم بردارها
نکته ۱ -کميتهايی که دارای اندازه و جهت باشند ، کميت برداری ناميده می شوند .مانند نيرو ، سرعت ، جابجايی و اندازه حرکت
نکته ۲ - برای جمع دو بردار از روش متوازی الاضلاع يا مثلث استفاده می کنيم . در روش متوازی الاضلاع دو بردار را از يک نقطه رسم می کنيم و از انتهای هر يک خطی موازی ديگری رسم می کنيم تا يکديگر را قطع کنند در اين حالت برداری که مبدا را به محل تقاطع وصل می کند برآيند دو بردار می باشد.
نکته ۳ - طول هر بردار را بزرگی آن می ناميم و از رابطه زير محاسبه می شود .
۲/۱ ( R=( A2+ B2+2A.B.cosΘ
در اين رابطه A و B طول دو بردار و Θ زاويه ميان دو بردار است .
نکته ۴ - هر بردار را می توان بر حسب تصاوير ( مولفه ) آن بر روی محورها تجزيه نمود .اگر Θ زاويه آن بردار با محور X باشد داريم :
A=Axi+Ayj
در اين رابطه Ax و Ay تصاوير ( مولفه ) بردار بر روی محورهای X و Y است و داريم:
Ax=AcosΘ
Ay=AsinΘ
نکته ۵ - بزرگی هر بردار از رابطه زير بدست می آيد :
اAا = Ax2+Ay2)1/2 )
نکته ۶ - اگر دو بردار باهم مساوی باشند برآيند آنها از رابطه زير محاسبه می شود :
R=2AcosΘ/2
نکته ۷ - اگر طول دو بردار مساوی باشد و زاويه ميان انها ۹۰ درجه باشد بزرگی برآيند آنها برابر Γ۲ برابر يکی از آنها است .
نکته ۸ - اگر طول دو بردار مساوی باشد و زاويه ميان آنها ۱۲۰ درجه باشد . بزرگی برآيند آنها برابر طول يکی از بردارها است .
نکته ۹ - اگر زاويه ميان دو بردار با طول مساوی برابر ۶۰ درجه باشد بزرگی برآيند آنها Γ۳ برابر طول يکی از بردارها است .
نکته ۱۰ - برای بدست آوردن تفاضل دو بردار ، بردار اول را با قرينه بردار دوم جمع می کنيم .
نکته ۱۱ - برای بدست آوردن بزرگی تفاضل دو بردار ، در رابطه جمع بجای Θ زاويه Π-Θ قرار می دهيم . جهت بردار تفاضل در جهت قطر ديگر متوازی الاضلاع است .
4
سوالات کنکور بردارها
۱-دو بردار A=6i+2j و B=ai+bj بر هم عمودند . b/aکدام است ؟ (۷۸ ر )
√ ۱)۳- ۲)۳/۱- ۳)۳/۱ ۴)۳
۲-اگر برآيند دو نيروی F1=25N و F2=50N بر نيروی کوچکتر عمود باشد . بزرگی برآيند دو نيرو بر حسب نيوتن کدام است ؟ ( ۷۸ ت )
۱)۱۰۰Γ۲
۲)۵۰Γ۲
۳)۵۰Γ۳
√ ۴)۲۵Γ۳
۳-دو بردار A=4i+bj و B=ai+3j مفروض است . اگر برآيند اين دو بردار با محور X زاويه ۳۷ درجه بسازد ، نسبت a/b کدام است ؟ ( sin37=0.6 ) در (۷۸ ت )
۱)۳/۲ ۲)۲/۳ √۳)۳/۴ ۴)۴/۳
۴-برآيند دو نيروی عمود بر هم برابر ۱۰۰ نيوتن و اندازه نيروی بزرگتر Γ۳ برابر اندازه نيروی کوچکتر است .زاويه بين نيروی کوچکتر و برآيند ، چند درجه است ؟ ( ۷۸ آزاد )
۱)۳۰ ۲)۱۵ √ ۳)۶۰ ۴)۷۵
۵-اگر F=8i+6j باشد . اندازه بردار 3F برابر کدام است ؟ ( ۷۹ ت )
√ ۱)۳۰ ۲)۲۴ ۳)۴۲ ۴)۲۷
6-اندازه برآيند دو بردار عمود بر هم ۶ واحد است . اگر زاويه بين برآيند و يکی از بردارها ۳۰ درجه باشد ، طول بردار کوچکتر چند واحد است ؟( ۷۹ ر )
۱)۲ ۲)۳Γ۲
√۳)۳ ۴)۳Γ۳
۷-زاويه برآيند سه بردار A=5i و B=5/2i-5j و C=-5/2i+10j با محور X چند درجه است ؟ ( ۷۹ ر )
۱)۳۷ ۲)۴۵ ۳)۵۳ ۴)۶۰
۸-سه بردار A=2i-5j و B=-5i-j و C=ai+bj مفروض است .اگر A+B=C باشد ، a و b کدام است ؟( ۸۰ ت )
۱)۵- و ۴ √ ۲)۳- و ۶-
۳)۳ و ۶ ۴)۵ و ۴-
۹-نيروهای F1=2i+6j و F2 = i-2j در SI بر جسمی به جرم ۲ کيلوگرم اثر می کنند . شتاب حاصل از اين دو نيرو چند متر بر مجذور ثانيه است ؟ ( ۸۰ ر )
۱)۲ √ ۲)۵/۲ ۳)۳ ۴)۵/۳
10 -اگر برآيند دو نيروی ۹۰ نيوتن و ۱۵۰ نيوتن ، عمود بر نيروی ۹۰ نيوتن باشد ، اندازه آن چند نيوتن است ؟ ( ۸۲ ر )
۱)۷۲ √ ۲)۱۲۰ ۳)۵/۱۸۷ ۴)۲۵۰
۱۱-بردار A=3i+5j را به دو بردار B و C تجزيه کرده ايم به طوری که بردار B با محور X در جهت مثبت زاويه ۴۵ درجه می سازد و بردار C بر محور X عمود است . در اين صورت بردار C کدام است ؟ ( ۸۳ ت )
√ ۱) C=2j
2) C=3j
3) C=3i+3j
4) C=2i+2j
۱۲ - اندازه برآيند سه بردار A=5i و B=-5/2i+5Γ3/2j و C=5/2i-5Γ3/2j کدام است ؟ ( ۸۳ ر )
√ ۱) 5i
2) 5i-Γ3j
3) Γ3j
4) 3i+5Γ3j
۱۳-در جابجايی از مکان r1=i+2j به مکان r2=-3i+6j در SI سرعت متوسط متحرک V=-i+j است . زمان اين جابجايی چند ثانيه است ؟ ( ۸۴ ت )
۱)۲ ۲)۳ ۳)۴ ۴)۶
۱۴- ذره ای روی خط y=3x+1 با سرعت ثابت Γ۱۰ (راديکال ده )در حرکت است . بردار سرعت آن کدام است ؟ ( ۸۵ر )
√ 1) v=i+3j
2) v=2i+5j
3) v=3i+j
4) v=5i+2j
بخش دوم
حرکت شناسي
براي بررسي حرکت يک جسم ابتدا به تعريف چند کميت مي پردازيم.
بردار مکان و بردار جابه جايي
بردار مکان موقعيت مکاني جسم را در صفحه مختصات نشان مي دهد. ابتداي بردار مکان بعداً مختصات و انتهاي آن نقطه اي است که جسم در آن واقع شده است.
فرض کنيد که يک جسم متحرک در لحظه t1 در نقطه A باشد و در لحظه t2 به نقطه B رسيده باشد. بردار جابه جايي بين دو لحظه t1 و t2 برداري است که ابتداي آن مکان متحرک در لحظه t1 و انتهاب آن مکان متحرک در لحظه t2 باشد.
Δr تفاضل r2 و r1 است يعني r2-r1 = Δr
بردار جابه جاهايي به مسير حرکت بستگي ندارد و فقط با داشتن دو نقطه (مکان جسم در لحظه t1 و مکان جسم در لحظه t2) رسم مي شود.
حرکت روي خط راست
هر گاه راستاي حرکت جسم متحرک، يک خط راست باشد در تمام لحظه ها بردار جابه جايي هايي متحرک بر همان راستا خواهد بود. مبدأ هم روي همين راستا انتخاب مي شود در اين صورت محاسبه بر روي اين بردارها به سادگي انجام مي گيرد.
نمودار مکان – زمان
اين نمودار مکان جسم را در زمانهاي مختلف نشان مي دهد. غالباً محور افقي زمان و محور قائم مکان جسم را نشان مي دهد. با استفاده از اين نمودار مي توان دريافت که متحرک در هر لحظه در چه مکاني قرار دارد و جابه جايي آن بين هر دو لحظه چقدر است.
سرعت متوسط و تعيين آن به کمک نمودار مکان - زمان
تغيير مکان يک جسم تقسيم بر تغييرات زمان را سرعت متوسط مي گويند. سرعت متوسط به صورت v نشان داده مي شود. سرعت متوسط کميتي برداري است که با بردار جابه جايي هم جهت است. يکاي سرعت متوسط متر بر ثانيه (m/s) مي باشد.
|
Δx
Δt |
= |
جابه جايي
زماني که جابه جايي رخ داده |
V= |
نمودار مکان . زمان يک جسم متحرک نشان داده شده است. سرعت متوسط بين دو نقطه A و
|
B مساوي است با | <><><>
و در درس رياضي ديده ايد که | <><><>
همان شيب خط AB است. |
Δx
Δt |
Δx
Δt |
سرعت متوسط بين دو نقطه از نوار مکان – زمان برابر شيب خطي است که آن دو نقطه را به هم وصل مي کند.
سرعت لحظه اي و تعيين آن به کمک نمودار مکان – زمان
سرعت لحظه اي، سرعت متوسط در هر لحظه از حرکت است. سرعت متوسط در حدي که با ذره ي زماني Δt فوق العاده کوچک شود، سرعت لحظه اي ناميده مي شود. يک بار ديگر نمودار مکان – زمان را در نظر بگيريد. اگر Δt فوق العاده کوچک شود نقطه B خيلي خيلي به A نزديک مي شود و در نهايت خط AB در نقطه A نمودار احساس مي شود. سرعت در هر لحظه برابر شيب خط مماس بر نمودار مکان – زمان در آن لحظه است
انواع حرکت روي خط راست
۱) حرکت يکنواخت روي خط راست
هرگاه سرعت لحظه اي متحرکي که بر روي خط راست حرکت مي کند در تمام لحظه ها يکسان باشد، حرکت آن حرکت يکنواخت ناميده مي شود. در اين حرکت نمودار مکان – زمان يک خط راست خواهد بود زيرا شيب خط Δx/Δt تغيير نمي کند.
و سرعت در تمام لحظه ها مساوي با سرعت متوسط خواهد بود.
V = v¯ ® V = ΔX/Δt
ΔX = V Δt
اگر در لحظه t=0 فاصله متحرک تا مبدأ برابر x0 و در لحظه t برابر x باشد:
(x-x0)= v(t-0)
x = vt + x0 معادله حرکت يکنواخت
نمودار سرعت زمان
با داشتن سرعت در زمانهاي مختلف مي توانيم اين نمودار را رسم کنيم. محور افقي را زمان و محور قائم را سرعت اختياري مي کنيم.
اگر جسم متحرک با سرعت ثابت روي خط راست حرکت کند نمودار سرعت – زمان آن مطابق زير خواهد بود.
و نمودار مکان – زمان آن مطابق زير خواهد بود:
۲) حرکت شتابدار روي خط راست (با شتاب ثابت)
در مواردي که سرعت متحرک تغيير مي کند مي گوييم حرکت شتابدار يا غير يکنواخت است. شتاب متوسط برابر تغيير سرعت در واحد زمان است و يکاي آن (m/s2) است.
a = Δv/Δt
«شتاب متوسط بين دو لحظه برابر شيب خطي است که نمودار سرعت – زمان را در آن دو لحظه قطع کند.»
شتاب متوسط در حدي که Δt فوق العاده کوچک شود، شتاب لحظه اي ناميده مي شود و برابر شيب خط مماس بر نمودار سرعت – زمان در لحظه مورد نظر است.
هرگاه در حرکتي در تمام لحظه ها شتاب يکسان باشد، آن را حرکت با شتاب ثابت مي ناميم. در اين حالت شتاب متوسط با شتاب لحظه اي برابر است.
a¯= a = Δv/Δt = v2 - v1 / t2 - t1
اگر در اين رابطه ۰=t1 و t2 = t اختيار شود وv0 سرعت در لحظه صفر و v سرعت در لحظه t باشد.
a = v - v0 / t
v=at+ v0 معادله حرکت با شتاب ثابت
نمودار سرعت – زمان آن به صورت زير است:
معادله مکان – زمان در حرکت با شتاب ثابت بر روي خط راست به شکل زير محاسبه شده است:
X= 1/2 at2 + v0t+ x0
و اگر زمان را از معادله حرکت با شتاب ثابت به دست آوريم و در رابطه بالا جايگزين کنيم رابطه زير به دست مي آيد که مستقل از زمان است (يعني زمان در آن وجود ندارد.)
v2 - v02 = 2a(x-x0)
سقوط آزاد
سقوط آزاد نمونه طبيعي حرکت با شتاب ثابت است. در اين حرکت جسم تحت تأثير نيروي وزن خود در يک مسير مستقيم سقوط مي کند. در سقوط آزاد جابه جايي در امتداد محور قائم است. مکان متحرک با y نشان داده مي شود. مبدأ نقطه اي است که سقوط از آن نقطه شروع مي شود. اگر جهت مثبت را رو به پايين اختيار کنيم مي توان نوشت
Y = 1/2 gt2 + v0t
V = gt + v0
v2 - v02 = 2gh
G شتاب گرانش است و مقدار آن حدود 8/9 m/s2 مي باشد.
6
نکات مهم سينماتيک
نکته ۱ - جابجايی برداری است که نقطه مبدا را دريک حرکت به نقطه مقصد وصل می کند.
نکته ۲ - جابجايی يک متحرک در يک ثانيه را سرعت متوسط می ناميم ، پس اگر جابجايی را به زمان تقسيم کنيم سرعت متوسط بدست می آيد .
نکته ۳ - رابطه ميان مکان يک متحرک با زمان معادله حرکت نام دارد .
نکته ۴ - اگر از معادله حرکت نسبت به زمان مشتق بگيريم معادله سرعت بدست می آيد .
نکته ۵ - تغيير سرعت در يک ثانيه را شتاب متوسط می ناميم ، پس اگر تغيير سرعت را به زمان تقسيم کنيم شتاب متوسط بدست می آيد .
نکته ۶ - اگر از معادله سرعت نسبت به زمان مشتق بگيريم معادله شتاب بدست می آيد .
نکته ۷ - اگر در معادلات حرکت ، سرعت و يا شتاب بجای زمان مقدار قرار دهيم به ترتيب ، مکان جسم ، سرعت لحظه ای و يا شتاب لحظه ای بدست می آيد .
نکته ۸ - در حرکتی که رو به عقب انجام شود ، سرعت منفی است و يا می توان گفت اگر با گذشت زمان فاصله تا مبدا کاهش يابد سرعت منفی است .
نکته ۹ - در حرکتی که اندازه سرعت کاهش يابد شتاب منفی است .
نکته ۱۰ - اگر اندازه شتاب صفر باشد سرعت ثابت می ماند .
نکته ۱۱ - شيب خط مماس بر نمودار مکان - زمان اندازه سرعت در آن لحظه را نشان می دهد .
نکته ۱۲ - شيب خط مماس بر نمودار سرعت - زمان اندازه شتاب در آن لحظه را نشان می دهد .
نکته ۱۳ - اگر نمودار مکان - زمان سهمی ( درجه دوم ) باشد شتاب ثابت است . اگر نمودار دارای ماکسيمم باشد شتاب منفی و در صورتی که دارای مينيمم باشد شتاب مثبت است .
نکته ۱۴ - اگر سرعت و شتاب هم علامت باشند حرکت را تند شونده و در صورتی که مختلف العلامه باشند حرکت را کند شونده می ناميم .
نکته ۱۵ - سطح زير نمودار سرعت - زمان برابر جابجايی است .
نکته ۱۶ - سطح زير نمودار شتاب - زمان برابر تغيير سرعت می باشد .
نکته ۱۷ - سطوح زير محور زمان بايد منفی در نظر گرفته شوند .
نکته ۱۸ - اگر دو متحرک از يک نقطه حرکت کنند و پس از مدتی به هم برسند ، جابجايی آنها در اين مدت برابر بوده است .
نکته ۱۹ - اگر دو متحرک از يک نقطه حرکت نکنند ولی پس از مدتی به يکديگر برسند ، مکان آنها در آن لحظه يکی است . پس برای پيدا کردن مجهول می توان معادله حرکت دو متحرک را در يک دستگاه مختصات نوشت و آنها را مساوی قرار داد .
xA=xB
نکته ۲۰ - اگر دو متحرک در يک لحظه با هم حرکت نکرده باشند و متحرک دوم به اندازه T تاخير داشته باشد . برای محاسبه مجهول ابتدا معادله حرکت اول را بر حسب t1 نوشته و با معادله حرکت متحرک دوم که بر حسب t2 نوشته شده است مساوی قرار می دهيم و در مرحله بعد بجای t2 مقدار t1-T قرار می دهيم .
نکته ۲۱ - حرکتهايی که در امتداد قائم تحت تاثير جاذبه زمين در شرايط خلا انجام می شوند سقوط آزاد نام دارند .
نکته ۲۲ - در سقوط آزاد اندازه شتاب همواره ثابت و برابر g است .
نکته ۲۳ - در سقوط آزاد شتاب همواره منفی است .
نکته ۲۴ - در سقوط آزاد ، بهتر است نقطه شروع حرکت را مبدا در نظر بگيريم . پس فواصل بالای آن مثبت و فواصل زير آن را منفی در نظر گرفته می شوند .
نکته ۲۵ - در سقوط آزاد ، حرکت به طرف بالا دارای سرعت مثبت و حرکت به طرف پايين دارای سرعت منفی هستند .
7
سؤالات حل شده سینماتیک
۱ – شخصي ۲ دقيقه با سرعت m/s ۵ و ۳ دقيقه با سرعت m/s ۲ دويده است. سرعت متوسط اين شخص را حساب کنيد.
|
t1 = 3*60 = 180s
v1 = 2 m/s |
{ |
t1 = 2*60 =120s
v1 = 5 m/s |
{ |
x1 = v1t1 = 5*120 = 600m
x2 = v2t2 = 2*180 = 360m
|
= 3/2 m/s |
600 + 360 |
= |
x1+x2 |
Þ v¯ = |
کل مسافت طي شده |
v¯ = |
|
120 + 180 |
t1+t2 |
کل زماني که در آن جابجايي انجام شده |
۲ – نمودار سرعت زمان متحرکهاي A و B به صورت زير است. اگر شتاب متحرک A ۱M/S باشد.
الف ) زمان T را که سرعت دو متحرک مساوي شده است به دست آوريد.
ب ) شتاب متحرک B را محاسبه کنيد.
ج) در چه فاصله زماني فاصله دو متحرک از مبدأ مساوي است.
| |
 |
30 ¬
10 ¬ |
aA = 1 m/s2 v0 =15m/s
الف ) aA = Δv/Δt = v - v0
ب ) aB = Δv/Δt = v - v0 / t - t0 Þ 1 = 30 -0/ 15-0 Þ t=2m/s2
ج ) xA = xB Þ 1/2 aAt2 + v0At = 1/2aBt2 + v0Bt
Þ 1/2*1*t2 + 15t = 1/2*2 *t2
Þ 1/2t2 + 15t = t2 Þ t =30s
۳ – از بالاي ساختماني جسمي را بدون سرعت اوليه رها مي کنيم.
سرعت آن هنگام رسيدن به زمين 20 m/s مي رسد.
الف ) ارتفاع ساختمان را به دست آوريد.
ب ) سرعت متوسط جسم در اين حرکت چقدر است.
ج) در چه زماني جسم نصف مسير را طي کرده است و سرعت آن در اين نقطه چقدر است؟
پاسخ: حرکت سقوط آزاد است.
V0 = 0 V=20 m/s g = 10 m/s2
الف) v2-v02= 2gh
202 – 0 = 2 ´ 10 ´ h Þ h = 20 m
ب ) v¯ = v + v0 / 2 = 20 + 0 / 2 Þ v¯ = 10m/s
ج ) h´ = h/2 = 20/2 Þ h´ = 10
h´ = 1/2 gt2 + v0t
10 = 1/2*10*t2 Þ t2 = 2 Þ t=√2s
v´ = gt + v0 = 10*√2 m/s
8
سوالات کنکور سينماتيک
۱- متحرکی با شتاب ثابت بر مسيری مستقيم در حرکت است. اگر سرعت اين متحرک در مدت ۱۵ دقيقه از ۶۰ کيلومتر بر ساعت به ۱۴۰ کيلومتر بر ساعت برسد . متحرک در اين مدت چند کيلومتر پيموده است (۷۸ ت )
۱)۱۵ √ ۲)۲۵ ۳ )۳۵ ۴)۵۰
۲-از بالای برجی به ارتفاع h گلوله ای بدون سرعت اوليه رها می شود.در همان لحظه گلوله ديگری با سرعت اوليه ۲۰ متر بر ثانيه از زمين در همان راستا ی قائم که گلوله اولی سقوط می کند به طرف بالا پرتاب می شود . اگر دو گلوله پس از ۲۵/۱ ثانيه از مقابل يکديگر عبور کنند h چند متر است؟ (۷۸ ت )
۱)۱۲/۵ √ ۲)۲۵ ۳)۵۰ ۴)۷۵
۳- دوچرخه سواری فاصله ۹۰ کيلومتری مستقيم بين دو شهر را در مدت ۵/۴ ساعت می پيمايد. وی با سرعت ثابت ۲۴ کيلومتر بر ساعت رکاب می زند اما برای رفع خستگی توقف هايی هم دارد . مدت توقف او چند دقيقه است؟ ( ۷۸ ر)
۱) ۸۰ √۲)۴۵ ۳)۳۰ ۴)۱۵
۴- در يک حرکت با شتاب ثابت و بدون سرعت اوليه بر مسيری مستقيم.....( ۷۹ر)
۱)سرعت متحرک ثابت است
۲)شتاب حرکت با زمان زياد می شود
۳)مسافت طی شده با زمان متناسب است
√۴)مسافت طی شده با مجذور زمان متناسب است
۵-جسمی با سرعت ثابت در حرکت است. اگر اين جسم در لحظه ۴=t ثانيه در فاصله ۲۲+متری مبدا مکان و ۲ ثانيه بعددر فاصله ۳۴ + متری آن مبدا باشد سرعت جسم چند متر بر ثانيه است؟ (۷۹ ت )
۱)۱/۲ ۲)۴ ۳)۵/۶ √۴)۶
۶-گلوله A را در شرائط خلا از ارتفاع h بدون سرعت اوليه رها می کنيم . سه ثانيه بعد گلوله B را از ارتفاع ۴/h بدون سرعت اوليه رها می کنيم. سرعت گلوله Aدر لحظه رسيدن به زمين چند برابر سرعت گلوله B است؟ ( ۷۹ ت )
۱)۱ ۲)۲/۳ √۳)۲ ۴)۹/۴
۷-معادله حرکت متحرکی در SI بصورت x=t2+t است. کدام گزينه زير برای
نوع حرکت جسم درست است؟(۷۹ ت)
۱)معادله الزاما از نظر ابعاد غلط است.
۲)حرکت نه يکنواخت و نه با شتاب ثابت است.
۳)شتاب حرکت وسرعت اوليه به ترتيب در SI و، ۵/۰ و ۱ است.
√۴)شتاب حرکت و سرعت اوليه درSI به ترتيب ۲ و ۱ است.
۸-گلوله ای از ارتفاع h با سرعت اوليه ۱۰ متر بر ثانيه در راستای قائم به بالا پرتاب می شود . اين گلوله ۵ ثانيه پس از پرتاب به سطح زمين می رسد. ارتفاعh چند متر است؟
(۸۰ ت)
۱)۶۵ ۲)۷۰ √۳)۷۵ ۴)۸۰
۹-متحرکی با سرعت اوليه ۴ متر بر ثانيه و با شتاب ثابت ۲متر بر مجذور ثانيه در يک مسير مستقيم ۱۲ متر جابجا می شود . سرعت متوسط در اين جابجايی چند متر بر ثانيه است؟
(۸۰ ر )
√۱)۶ ۲)۸ ۳)۱۰ ۴)۱۲
۱۰-متحرکی در يک مسير مستقيم حرکت می کند. اين متحرک دارای ۶=.V و۴=a در SIاست. سرعت متوسط متحرک در دو ثانيه اول چند متر بر ثانيه است؟ (۸۱ ت)
۱)۸ √۲)۱۰ ۳)۱۲ ۴)۱۴
۱۱- جسمی را در شرايط خلا از يک بلندی رها می کنيم . بطوری که با سرعت ۳۰ متر بر ثانيه به زمين بر خورد می کند. ارتفاع بلندی چند متر است؟ (۸۱ ت )
√۱)۴۵ ۲)۳۰ ۳)۴/۵ ۴)۳
۱۲-معادله مکان متحرکی در SI بصورتx=-t2+4t+20 است . حرکت آن از
t=0 تا t=8 ثانيه چگونه است؟ (۸۱ت)
√۱)ابتدا کند و سپس تند شونده
۲)ابتدا تند و سپس کند شونده
۳)پيوسته تند شونده
۴)پيوسته کند شونده
۱۳-از ارتفاع ۵۰ متری سطح زمين گلوله ای را در شرايط خلا با سرعت اوليه ۱۵ متر بر ثانيه به سمت پايين پرتاب می کنيم . سرعت گلو له در لحظه بر خورد به زمين چند متر بر ثانيه است؟(۸۱ ر )
۱)۳۰ √۲)۳۵ ۳)۴۰ ۴)۴۵
۱۴-سرعت ذره ای درSI در t=0 برابرv1=3i+2j و در t=2 s برابر v2=9i-6j
است . بردار شتاب متوسط ذره در اين مدت کدام است ؟ (۸۱ ر)
1)6i-8j
√2)3i-4j
3)8j-6i
4)4j-3i
۱۵-دو گلوله از يک نقطه با سرعت اوليه برابر با اختلاف زمانی ۱ ثانيه در راستای قائم رو به بالا پرتاب می شوند . فاصله نقطه ای که گلوله ها از کنار هم می گذرند تا بالاترين نقطه ای که گلوله ها به آنجا می رسند چند متر است؟ (۸۲ ر)
√۱)۱/۲۵ ۲)۲/۵ ۳)۳/۷۵ ۴)۵
۱۶-سرعت اوليه گلوله ای را که در راستای قائم رو به بالا پرتاب می شود چند برابر کنيم تا ارتفاع اوج آن دو برابر شود؟(۸۲ ر )
۱)۲ ۲)۴ √۳)Γ۲
۴)۲Γ۲
۱۷-معادله مکان متحرکی در SI بصورت x=-5t2+6t+12 است. در مورد
جهت حرکت و نوع آن کدام مطلب صحيح است؟ (۸۳ ت )
۱)همواره در جهت محور و کند شونده
√۲)ابتدا در جهت محور و کند شونده
۳)ابتدا خلاف جهت محور و کند شونده
۴)همواره در خلاف جهت محور و کند شونده
۱۸-بردارهای مکان ذره متحرک M در دو لحظه t1=5 s و t2=8 s در SI به
ترتيب r1=3i+6j و r2=15i-3j هستند. بزرگی سرعت متوسط ذره بين دو
لحظه مزبور چند متر بر ثانيه است؟ (۸۳ ت )
۱)۱۵ ۲)۳ √۳)۵ ۴)۸
۱۹-گلوله کوچکی از ارتفاع h بدون سرعت اوليه رها می شود و ۸۰ متر آخر سقوط را در مدت ۲ ثانيه می پيمايد. ارتفاع h چند متر است؟ (۸۳ ت )
√۱)۱۲۵ ۲)۱۵۰ ۳)۱۶۰ ۴)۲۵۰
۲۰-دریک مسيرمستقيم اتومبيلی باسرعت ۲۰m/s درحرکت است.از۳۶مترجلوتراتومبيل ديگری باشتاب ثابت۲۰m/s2 ازحال سکون درهمان جهت به
راه می افتد.دراين حرکت اتومبيل هادو بار از هم سبقت می گيرند.فاصله زمانی اين دو سبقت چند ثانيه است؟(۸۳ ر )
۱)۲ ۲)۱۰ √ ۳)۱۶ ۴)۱۸
۲۱-دو گلوله به فاصله زمانی يک ثانيه از نقطه ای به ارتفاع h درخلا رها می شوند . اگر بيشترين فاصله آنها ۴۵ متر شود. h چند متر است؟ (۸۳ ر )
۱)۸۰ ۲)۱۱۰ √۳)۱۲۵ ۴)۱۴۵
۲۲-مکان متحرکی که در يک صفحه حرکت می کند در SI بصورت r=(1/3t3+2/3)i+t2j است. در لحظه ای که اندازه شتاب متحرک ۲Γ۲
است. اندازه بردار مکان چند متر است؟ (۸۴ ت )
۱)۲ √۲)Γ۲
۳)۸ ۴)۴Γ۲
۲۳-گلوله ای در شرايط خلا بدون سرعت اوليه از ارتفاعی رها می شود و در ثانيه اول مسافتی به اندازه x1 و در ثانيه دوم مسافت x2 را طی می
کند.نسبت x2/x1 کدام است؟ (۸۴ ت )
۱)۲ √ ۲)۳ ۳)۴ ۴)Γ۲
۲۴-در جابجايی از مکان r1=i+2j به مکان r2=-3i+6j سرعت متوسط متحرک
v=-i+j است . زمان اين جابجايی چند ثانيه است؟ (۸۴ ت )
۱)۲ ۲(۳ √۳)۴ ۴)۶
۲۵-معادله های حرکت در SI برای خودروی A در يک صفحه xA=4t و yA=bt
و برای خودروی Bدر همان صفحه x=at2 و yB=6 می باشد.اگر دو خودرو با
يکديگر برخورد کنند نسبت b/a کدام است؟ (۸۴ ر)
۱)۲/۳ √ ۲)۳/۲ ۳)۳/۴ ۴)۴/۳
۲۶- گلوله ای را در شرايط خلا با سرعت اوليه ۴۰ متر بر ثانيه در راستای قائم رو به بالا پرتاب می کنيم . سرعت گلوله در نيمه راه خود تا رسيدن به نقطه اوج چند متر بر ثانيه است ؟ ( ۸۵ ت )
۱) ۲۰ √ ۲) ۲۰Γ۲
۳)۲۵ ۴) ۱۰Γ۲
۲۷- معادله حرکت متحرکی در SI بصورت r = (t3+4t)i + 2t2j است . بردار شتاب متوسط در بازه زمانی صفر تا ۲ ثانيه کدام است ؟ ( ۸۵ ت )
۱) 3i+2j
2) 12i+8j
√ 3) 6i+4j
4) 4i+2j
۲۸- ذره ای در SI روی خط y = 3x+1 با سرعت ثابت Γ۱۰ متر بر ثانيه در حركت است . بردار سرعت آن كدام است ؟ ( ۸۵ ر )
√ ۱) v = i+3j
2) v = 2i+5j
3) v = 3i+j
4) v = 5i+2j
۲۹- شخصی از ارتفاع ۱۷ متری زمين روی بالشی به ضخامت ۲ متر سقوط آزاد می کند و مقاومت هوا ناچيز است . اگر در اين بر خورد حد اقل ضخامت بالش به ۵/. متر برسد . اندازه شتاب شخص بعد از رسيدن به بالش تا انتهای مسير رو به پايين چند g است ؟ ( ۸۵ ر )
۱)۴ ۲)۶ ۳)۸ √ ۴)۱۰
